光を細くするだけで現れる不思議な輪っか《フラウンホーファー回折》

Point

・光の径を小さく丸く絞ると輪っか状のパターンが現れる
・フラウンホーファー回折によって説明できる　

今回の記事では、光の面白い性質について解説する。図１のように、丸い穴の開いたスリットに光を通すという実験をしてみる。図１上のように、スリットの径が光の径よりも大きいときは、当然、光は遮られずそのまま通過して後ろのスクリーンに丸い断面が映る。一方で、図１下のように、スリットの径が光の径よりも小さいときは光は遮られ細くなるが、このとき後ろのスクリーンには同心円の輪っかが複数現れる。ただ光を細くするだけで不思議な輪っかが現れるのである。

この輪っかが現れる現象を今回は「フラウンホーファー回折」と呼ばれる枠組みを使って説明していこう。数式がたくさん出てくるが、なるべく分かりやすくなるよう努めていく。

定式化のための状況設定

それでは、図１の定式化を行っていこう。状況をシンプルに考えるため、まずは図２のように、２次元的に表した模式図で考えていく。

光は左から平面波としてやって来ると仮定する。この光が開口径 $2d$ のスリットを通過後、距離 $L$ 離れたスクリーン上に到達する。スクリーン上での座標を $X$ とすると、いま求めたいのは、スクリーンに到達した光の強度分布 $I(X)$ である。

それでは、スクリーン上の光の強度分布を求めていこう。以前の記事で紹介したように、スリット通過後の光の動きは素元波の重ね合わせを考えれば計算できるのであった。つまり、図３のように、スリット間で生じた多数の素元波が、スクリーン上の各点で足し合わされた結果がどうなるのかを調べればよい。

それぞれの素元波はスクリーンに到達するまでに異なる経路を進む。そのため、それぞれの素元波の進む距離は異なる。この距離を図４に示すように $l$ と置こう。スリット上(発生源)の座標 $x$ とスクリーン上(到達点)の座標 $X$ が変われば、進んだ距離 $l$ も変化することが分かる。

一般に、波は長く進めば進むほど強度が弱くなっていく。また、進んだ距離に応じて電場の位相も変わってくる。これらを踏まえると、１つの素元波のスクリーン上での電場を数式で表すと以下のように書ける。

$\begin{align} \frac{1}{l}\cdot E_0 e^{ikl} \end{align}$

ここで、 $E_0$ はスリット上(発生源)での電場の大きさを表す。この式の意味としては、電場の大きさは $\frac{1}{l}$ で減衰し、電場の位相は $e^{ikl}$ で変化するということである。電場の大きさが距離 $l$ に反比例している理由は、電場の２乗に対応する光の強度が距離の２乗に反比例するという性質(いわゆる逆二乗則)をもつようにするためである。

距離 $l$ は簡単に求められる。図４において三平行の定理を使えば、

$\begin{align} l=\sqrt{L^2+(X-x)^2} \end{align}$

が得られる。

以上で準備が整ったので、まずはスクリーン上での電場 $E(X)$ を求める。先ほど述べたように、これを求めるには図３のように、スリット間で生じた多数の素元波をスクリーン上で足し合わせる必要がある。素元波の発生源はスリットの間で連続的に存在するので足し合わせは積分を考えればよい。つまり、スクリーン上での電場は

$\begin{align} E(X)&=\int^{+d}_{-d}\frac{1}{l}\cdot E_0 e^{ikl}dx\\ &=\int^{+d}_{-d}\frac{E_0 }{\sqrt{L^2+(X-x)^2}}\cdot e^{ik\sqrt{L^2+(X-x)^2}}dx \end{align}$

と書ける。今、入射波は平面波を考えており、各素元波の電場の大きさと位相はスリット間のどの点でも同じなので、初期分布などの複雑なことは特に考える必要はない。あとはこの式を２乗すれば、スクリーン上での光の強度が求まるというわけだ。

３次元で考える

ここまでは、２次元の場合で定式化を行ってきた。ここからは、実際の３次元の場合へ話を拡張していこう。図５に、半径 $d$ の丸いスリットを通過した光が、距離 $L$ 離れたスクリーン上に到達する様子を３次元で表した模式図を示す。スリット上の座標を $(x,y)$ 、スクリーン上の座標を $(X,Y)$ としよう。

３次元の場合でも、考え方は２次元の場合と同じで、 $xy$ 平面上の円の中で生じた多数の素元波(図５では３本のみ描いた)が $XY$ 平面上の各点で重ね合わさったときの強度を求めればよい。

　それでは、３次元の場合のスクリーン上での電場 $E(X,Y)$ を求めてみよう。素元波が進む距離 $l$ は $y$ 座標が追加されたことで以下のように書けるのはすぐにわかるだろう。

$\begin{align} l=\sqrt{L^2+(X-x)^2+(Y-y)^2} \end{align}$

スリット上での積分についても $y$ 座標が追加されることになる。よってスクリーン上での電場は

と表される。なお、円の形で積分をするため、積分範囲は $-\infty$ から $+\infty$ とし、電場の初期分布 $E_0(x,y)$ を半径 $d$ 以上でゼロとすることとした。この式を２乗すれば、スクリーン上での光の強度が求まる。

式を解いていく

実は、上の電場の式はこのままではこれ以上式変形を進めていくことはできず、この式を使ってスクリーン上での強度を求めるには、コンピュータの力が必要となる。そこで、式を使える状況が限定されるが、近似を使って式変形を進められるようにしよう。

今、スリットからスクリーンまでの距離 $L$ が、 $x, y, X, Y$ に比べて十分大きい( $L \gg x, y, X, Y$ )と仮定する。すると、素元波が進む距離 $l$ は次のように近似できる。

$\begin{align} l&=\sqrt{L^2+(X-x)^2+(Y-y)^2}\\ &=L\ \sqrt{1+\frac{(X-x)^2}{L^2}+\frac{(Y-y)^2}{L^2}}\\ &\simeq L\left\{1+\frac{(X-x)^2}{2L^2}+\frac{(Y-y)^2}{2L^2}\right\}\\ &=L+\frac{(X-x)^2}{2L}+\frac{(Y-y)^2}{2L} \end{align}$

ここで、 $\sqrt{1+a}\simeq 1+\frac{a}{2}\ (a\ll 1)$ という近似の公式を用いた。さらに近似を押し進めて、この式の第２項と第３項も小さいと仮定すると、最終的には

$\begin{align} l\simeq L \end{align}$

と近似できる。

これらの近似を先ほどのスクリーン上での電場の式に適用してみよう。なお、電場の位相部分には１段階目の近似（ $l \simeq L+\frac{(X-x)^2}{2L}+\frac{(Y-y)^2}{2L}$ ）を、電場の減衰部分には２段階目の近似（ $l \simeq L$ ）を使うことにする。位相の方が弱い近似にしている理由としては、波を重ね合わせる際には電場の大きさよりも位相の正確さの方が重要となるからである。したがって

$\begin{align} E(X,Y)&=\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{1}{l}\cdot E_0(x,y) e^{ikl}dxdy\\ &=\int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}\frac{E_0(x,y)}{L}\cdot e^{ik\left(L+\frac{(X-x)^2}{2L}+\frac{(Y-y)^2}{2L}\right)}dxdy\\ &=\frac{1}{L}e^{ikL} e^{ik(\frac{X^2+Y^2}{2L})} \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty} E_0(x,y) \cdot e^{ik\left(\frac{x^2+y^2}{2L}\right)}e^{-ik\left(\frac{xX+yY}{L}\right)}dxdy \end{align}$

と式変形できる。この式の積分部分を取り出した

$\begin{align} \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty} E_0(x,y) \cdot e^{ik\left(\frac{x^2+y^2}{2L}\right)}e^{-ik\left(\frac{xX+yY}{L}\right)}dxdy \end{align}$

をフレネルの回折積分とよぶ。この式は光の回折を考える際に頻繁に登場する重要な式である。

さて、この式の $e^{ik\left(\frac{x^2+y^2}{2L}\right)}$ は、 $L \gg x, y$ では指数関数の肩がゼロに近づくので、１に近似できる。つまり、フレネルの回折積分は

$\begin{align} \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty} E_0(x,y) \cdot e^{-ik\left(\frac{xX+yY}{L}\right)}dxdy \end{align}$

のようにコンパクトになる。この式が、冒頭で述べたフラウンホーファー回折積分である。当然のことながら、フラウンホーファー回折の方がフレネル回折よりも使う近似が強いため、適用範囲は狭い。しかし、今回の記事で目的としている輪っか状の強度分布を得るためには、この式で十分である。

あとは、図５に示したようにスリット上での電場を

$\begin{align} E_0(x,y)&=E_0 (r \leq d)\\ E_0(x,y)&=0 (r > d) \end{align}$

のように、円形の均一な分布として、式を解いていけばよい。ただし、ここから先の計算は数学的な話になっていき、物理とは離れてしまうので、導出過程については全て付録に丸投げすることにする。
　ということで、結論を書いてしまうと、フラウンホーファー回折積分は、上の初期電場条件において

$\begin{align} \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty} E_0(x,y) \cdot e^{-ik\left(\frac{xX+yY}{L}\right)}dxdy\\ =2\pi d^2 E_0 \frac{L}{kdR} J_1\left(\frac{kdR}{L}\right) \end{align}$